线性代数——平面向量 学习笔记

线性代数——平面向量 学习笔记

首发于洛谷

定义及用语说明

无特殊说明,下文的向量均指自由向量且是平面向量

向量,英文名为 vector,目前没有准确而统一的中文翻译。

在物理学科,一般翻译成「矢量」,且与「标量」一词相对。

在数学学科,一般直接翻译成「向量」。对于向量的乘法:

物理 数学 直译 俗称
标量积 数量积 内积 点积
矢量积 向量积 外积 叉积

物理和数学上的用语采用了意译的方法,分别表示运算的结果为标量和矢量。

在数学学科,通常也可以翻译成「内积」和「外积」,是两个名词的直译。

而「点积」和「叉积」是根据运算符号得来的俗称,这种俗称也很常见。

本文采用「点积」和「叉积」的表达方法,大概因为作者读过一篇不大正统的文章。

在数学学科,一般没有说明的话,或者省略了运算符,向量的乘法默认为点积,即标量积。

说了这么多,其实,对于平面向量,只存在点积而不存在差积(x)

在考虑三维向量(或高维向量)之前,只需要考虑点积就可以了。

定义和基本符号

一、有向线段

带有方向的线段称为有向线段。有向线段的三要素为:起点、方向、长度。

根据初等几何,那么只要知道这三要素,这个有向线段就已经被确定了,也就是终点可知。

从另一个角度思考,也可以认为是知道起点、重点,就可以唯一的确定一个有向线段。

一个有向线段由其两个端点表示,记为 \(\overrightarrow{AB}\)\(\vec{a}\),同时我们记其长度,称为向量的模

二、向量

既有大小又有方向的量称为向量。这个定义很抽象,我们逐个分解。

我们已经有了有向线段,但是实际应用中,大部分时候,向量的位置并不重要。

于是我们将有向线段的起点不固定,将一个有向线段抽象为一个可以随意移动的量。

此时,你也许发现了。有向线段其实可以再次表示为,起点和一个向量。

我们通常把向量表示在平面直角坐标系内,没有说明的情况下,起点通常标在坐标轴原点。

我们取这个向量在横、纵坐标上延伸的长度作为两个元素,将向量记为 \((a,b)\)

那么我们就得出了向量的几何意义,即向量 \((a,b)\) 表示向右走 \(a\)、向上走 \(b\) 的位移。

三、向量的模

对于一个向量 \(\vec a\),有向线段
\(\vec a\) 的长度称为向量的模,即为这个向量的大小。

符号表示为 \(|\vec a|\)\(|\overrightarrow{AB}|\) ,根据勾股定理,我们知道 \(|\vec a|=|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}\)

四、特殊的向量

零向量:模为 \(0\) 的向量,零向量的方向任意(不过其实是无意义)。一般记为:\(\vec 0\)

单位向量:模为 \(1\) 的向量称为单位向量。一般记为 \(\vec e\),最常见的单位向量就是基向量。

基向量\(\vec\imath=(1,0)\) 表示 \(x\) 方向的单位向量,\(\vec\jmath=(0,1)\) 表示 \(y\) 方向的单位向量。

平行向量:方向相同或相反的两个非零向量。记作: \(\vec x\parallel \vec y\)

共线向量:任一组平行向量都可以平移到同一直线上,所以平行向量又叫共线向量。

相等向量:模相等且方向相同的向量。相反向量:模相等且方向相反的向量。

向量的运算

一、向量的数乘

我们规定实数 \(\lambda\) 与向量 \(\vec a\) 的积为一个向量,称为向量的数乘运算,记作 \(\lambda\vec a\)

我们定义 \(\lambda\vec a=\lambda(x,y)=(\lambda x,\lambda y)\)。据此,我们可以得出以下向量数乘常用的结论:

  • \(|\lambda \vec a|=|\lambda||\vec a|\)
  • \(\lambda >0\) 时,\(\lambda\vec a\)\(\vec a\) 同向;
  • \(\lambda =0\) 时,\(\lambda \vec a=\vec 0\)
  • \(\lambda<0\) 时,\(\lambda \vec a\)\(\vec a\) 方向相反。

根据数乘的定义,可以得出向量的数乘满足交换律、结合律、分配率等。

二、向量的线性运算

注意,向量的数乘本质上也属于向量的线性运算,不过我把他们分开,方便理解。

下面讨论向量的加法,类比的,向量的减法可以从公式入手理解。

类比物理中的位移,从 \(A\)\(B\)\(C\),那么经过的位移等价于直接从 \(A\)\(C\)

符号表示即:\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\),其实这个也就是三角形法则所表述的。

同时,注意到力的合成法则(平行四边形法则),同样也可以看做向量的相加。

因此,我们得出向量相加的两个运算法则,即三角形法则、平行四边形法则:

  • 三角形法则:首尾顺次相连,和为从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点;
  • 平行四边形法则:向量共起点,和为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线,
    起点为两个向量共有的起点,方向沿平行四边形对角线方向。

这样,向量的加法就具有了几何意义。并且向量的加法满足交换律与结合律。

然后从几何的角度可以推出一些公式,其中三角形法则的公式比较简单,如下:

\[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \]

向量的点积

点积的概念对于任意维数的向量都适用

已知两个向量 \(\vec a,\vec b\) ,它们的夹角为 \(\theta\),那么这两个向量的点积为:

\[\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos \theta \]

其中,我们称 \(|\vec a|\cos \theta\)\(\vec a\)\(\vec b\) 方向上的投影。

点积的几何意义即为:点积 \(\vec a \cdot \vec b\) 等于 \(\vec a\) 的模与 \(\vec b\)\(\vec a\) 方向上的投影的乘积。

另外,我们定义向量点积数值上表示为(简记为先相乘再相加):

\[(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2 \]

可以发现,这种运算得到的结果是一个标量,并不属于向量的线性运算。

在不引起混淆的情况下,点积的点号可以省略不写。

互相垂直的两个向量的点积,结果为 \(0\)。向量与零向量点积,结果为 \(0\)

常见方法

一、判定两向量垂直

根据 \(\cos 90^\circ=0\)\(\vec a \perp \vec b \iff \vec a\cdot \vec b=0\)

二、判定两向量共线

两个非零向量 \(\vec a\)\(\vec b\) 共线,等价于,有唯一实数 \(\lambda\),使得 \(\vec b=\lambda \vec a\)

由数乘的定义知,对于非零向量 \(\vec a\),如果存在实数 \(\lambda\),使得 \(\vec b=\lambda \vec a\),那么 \(\vec a \parallel \vec b\)

数值上,有判别式 \(\vec a = \lambda \vec b \iff |\vec a\cdot \vec b|=|\vec a||\vec b|\)

三、向量的坐标表示

已知两点 \(A(a,b),B(c,d)\),易证
\(\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)\)

四、两向量的夹角

根据 \(\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos \theta\),得两向量的夹角为:

\[\cos \theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} \]

根据 \(\vec a\cdot\vec b=(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2\),及 \(|\vec x|=|(a,b)|=\sqrt{a^2+b^2}\) 得:

\[\cos \theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{({x_1}^2+{y_1}^2)({x_2}^2+{y_2}^2)}} \]

Reference

[1] https://oi-wiki.org/math/linear-algebra/vector/
[2] https://oi-wiki.org/math/linear-algebra/product/

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