二分查找图解

二分查找图解

使用二分查找的前提是所给的元素集合必须是单调的。

注意:本文图文并茂

将提供以下图文链接供大家理解:
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整数二分

查找最后一个小于等于q的元素的下标

模板代码,展开查看
int last(int q){
    int l = -1, r = n;
    while(l + 1 < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if(a[mid] <= q) l = mid;
        else r = mid;
    }
    return l;
}

元素存在
返回对应元素的下标
元素不存在
返回最大小于该元素的元素的下标

查找第一个大于等于q的元素的下标

模板代码,展开查看
int first(int q){
    int l = -1, r = n;
    while(l + 1 < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if(a[mid] >= q) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return r;
}

元素存在
返回对应元素的下标
元素不存在
返回最小大于该元素的元素的下标

习题一

AcWing 789. 数的范围

AC代码,展开查看
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];
int n, m, q;
int first(int q){ // 局部变量覆盖全局变量
    int l = -1, r = n;
    while(l + 1 < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if(a[mid] >= q) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return a[r] == q ? r : -1;
}
int last(int q){ // 局部变量覆盖全局变量
    int l = -1, r = n;
    while(l + 1 < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if(a[mid] <= q) l = mid;
        else r = mid;
    }
    return a[l] == q ? l : -1;
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
    while(m -- ){
        scanf("%d", &q);
        printf("%d %d\n", first(q), last(q));
    }
    return 0;
}

浮点数二分

最大化查找模板:

模板代码,展开查看
double find(double y){
    double l = -22, r = 22;
    while(r - l > pre){
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid <= y){
            l = mid;
        }else{
            r = mid;  
        }
    }
    return l;
}

最小化查找模板:

模板代码,展开查看
double find(double y){
    double l = -22, r = 22;
    while(r - l > pre){
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid >= y){
            r = mid;
        }else{
            l = mid;  
        }
    }
    return r;
}

习题一

AcWing 790. 数的三次方根

最大化AC代码,展开查看
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pre = 1e-8;
double find(double y){
    double l = -22, r = 22;
    while(r - l > pre){
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid <= y){
            l = mid;
        }else{
            r = mid;  
        }
    }
    return l;
}
int main(){
    double n;
    cin >> n;
    printf("%.6lf", find(n));
    return 0;
}

最小化AC代码,展开查看
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pre = 1e-8;
double find(double y){
    double l = -22, r = 22;
    while(r - l > pre){
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid >= y){
            r = mid;
        }else{
            l = mid;  
        }
    }
    return r;
}
int main(){
    double n;
    cin >> n;
    printf("%.6lf", find(n));
    return 0;
}

习题二

P2249 【深基13.例1】查找

AC代码,展开查看
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int a[N];
int n, m, q;
int first(int q){ // 局部变量覆盖全局变量
    int l = -1, r = n;
    while(l + 1 < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if(a[mid] >= q) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return a[r] == q ? r + 1 : -1;
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
    while(m -- ){
        scanf("%d", &q);
        printf("%d ", first(q));
    }
    return 0;
}

习题三

P1024 [NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解

AC代码,展开查看
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pre = 1e-4;
double a, b, c, d;
double f(double x){ // 函数f(x)
    return a * x * x * x + b * x * x + c * x + d;
}
double find(double l, double r){
    while(r - l > pre){
        double mid = (l + r) / 2;
        if(f(mid) * f(r) < 0) l = mid;
        else r = mid;
    }
    return l;
}
int main(){
    cin >> a >> b >> c >> d;
    for(int i = -100; i < 100; i ++ ){ 
        double y1 = f(i), y2 = f(i + 1); // (-100, -99], (-99, -98],  ...,  (99, 100]: 排除根为100的情况
        if(!y2) printf("%.2lf ", i + 1.0); // 有可能该点正好是根
        if(y1 * y2 < 0) printf("%.2lf ", find(i, i + 1)); // 否则在(i, i + 1)区间二分根
    }
    return 0;
}

高效的牛顿法

牛顿法(英语:Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法(英语:Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数\(f(x)\)的泰勒级数的前面几项来寻找方程\(f(x)=0\)的根。

1. 方法说明

首先,选择一个接近函数\(f(x)\)零点的\(x_{0}\),计算相应的\(f(x_0)\)和切线斜率\(f'(x_0)\)(这里\(f'\)表示函数\(f\)的导数)。然后我们计算穿过点\((x_{0},f(x_{0}))\)并且斜率为\(f'(x_0)\)的直线和\(x\)轴的交点的\(x\)坐标,也就是求如下方程的解:
$$
{\displaystyle 0=(x-x_{0})\cdot f'(x_{0})+f(x_{0})}
$$
我们将新求得的点的\(x\)坐标命名为\(x_1\),通常\(x_1\)会比\(x_{0}\)更接近方程\(f(x)=0\)的解。因此我们现在可以利用\(x_1\)开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:
$$
{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}
$$
已有证明牛顿迭代法的二次收敛必须满足以下条件:
\(f'(x)\neq 0\); 对于所有\(x\in I\),其中\({\displaystyle I}\)为区间\([α − r, α + r]\),且\(x_{0}\)在区间其中\(I\)内,即 \(r\geqslant \left|a-x_{0}\right|\)的;
对于所有\({\displaystyle x\in I}\)\(f''(x)\)是连续的;
\(x_{0}\)足够接近根 \(α\)

2. 案例

第一个案例:

求方程\(\cos(x)-x^{3}=0\)的根。令\(f(x)=\cos(x)-x^{3}\),两边求导,得\(f'(x)=-\sin(x)-3x^{2}\)。由于\(-1\leq \cos(x)\leq 1(\forall x)\),则\(-1\leq x^{3}\leq 1\),即\(-1\leq x\leq 1\),可知方程的根位于\(0\)\(1\)之间。我们从\({\displaystyle x_{0}=0.5}\)开始。

第二个案例:

牛顿法亦可发挥与泰勒展开式,对于函式展开的功能。
\(a\)\(m\)次方根。
\(x^{m}-a=0\)

\(f(x)=x^{m}-a\)\(f'(x)=mx^{m-1}\)

\(a\)\(m\)次方根,亦是\(x\)的解,

以牛顿法来迭代:

\[x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}} \]

\[x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{m}-a}{mx_{n}^{m-1}}} \]

\[x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}}{m}}{(1-ax_{n}^{-m})} \]

(或 $$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {1}{m}}\left(x_{n}-a{\frac {x_{n}}{x_{n}^{m}}}\right)$$)

3. 应用

求解最值问题

牛顿法也被用于求函数的极值。由于函数取极值的点处的导数值为零,故可用牛顿法求导函数的零点,其迭代式为

\[x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f^{\prime }(x_{n})}{f^{\prime \prime }(x_{n})}} \]

求拐点的公式以此类推


引例:
用牛顿法求解平方根:

如果要求\(S(S>1)\)的平方根,选取\(1 < x_{0} < S\)

\[x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {S}{x_{n}}}\right) \]

例子:求\(\sqrt {125348}\)至6位有效数字。

\[x_0 = 3^6 = 729.000 \]

\[x_1 = \frac{1}{2} \left(x_0 + \frac{S}{x_0}\right) = \frac{1}{2} \left(729.000 + \frac{125348}{729.000}\right) = 450.472 \]

\[x_2 = \frac{1}{2} \left(x_1 + \frac{S}{x_1}\right) = \frac{1}{2} \left(450.472 + \frac{125348}{450.472}\right) = 364.365 \]

\[x_3 = \frac{1}{2} \left(x_2 + \frac{S}{x_2}\right) = \frac{1}{2} \left(364.365 + \frac{125348}{364.365}\right) = 354.191 \]

\[x_4 = \frac{1}{2} \left(x_3 + \frac{S}{x_3}\right) = \frac{1}{2} \left(354.191 + \frac{125348}{354.191}\right) = 354.045 \]

\[x_5 = \frac{1}{2} \left(x_4 + \frac{S}{x_4}\right) = \frac{1}{2} \left(354.045 + \frac{125348}{354.045}\right) = 354.045 \]

因此$$\sqrt{125348} \approx 354.045$$

代码实现:

  package main
  import (
    "fmt"
  )
  func main() {
    // 求S = 125348的平方根
    // 1. 选取1 < x0 < S 
    // 	  x0 = 3^6 = 729.00
    // 2. 迭代5次
    var S float64 = 125348
    var x float64 = 729
    for i := 0; i < 5; i ++ {
      x = 1 / 2.0 * (x + S / x)
    }
    fmt.Printf("x: %v\n", x)
  }

结论:
不难看出

\[ x = \frac {1} {2} (x + \frac {S} {x}) \]

等价于:
在数学上是等价的,在计算机上\(x^2\)会超过int所表示的范围,变成+Inf

\[ x = \frac {x^2 + S} {2x} \]

\(x^2\),变为\(2x^2 - x^2\),然后化简得

\[x = x - \frac {x^2 - S} {2x} \]

我们来推导出这个公式:

  1. \(f(x) = x^2 - c \ (c \neq 0)\), \(f'(x) = 2x\), \(f''(x) = 2\)

  2. 证明二次收敛:

    \(f'(x)\neq 0\); 对于所有\(x\in I\),其中\({\displaystyle I}\)为区间\([1, c]\),设近似根为\(x_0\),且\(x_{0}\)在区间\(I\)内;
    对于所有\({\displaystyle x\in I}\)\(f''(x)\)是连续的;
    \(x_{0}\)足够接近根 \(α\), \(α\)是实际的根。

  3. 根据定义将\(x_0\),代入

\[0=(x-x_{0})\cdot f'(x_{0})+f(x_{0}) \]

  1. 因为二次收敛,所以等式两边除以\(f'(x_{0})\),然后移项得

\[ x = x_0 - \frac {f(x_0)} {f'(x_0)} \]

  1. 则可以得到其迭代公式

\[ x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}} \]

  1. 代入求解得

\[ x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_n^2-c} {2x_{n}}} \]

推导完毕!


有了以上基础,下面就非常简单了

为了练习函数与循环,我们来实现一个平方根函数:用牛顿法实现平方根函数。

计算机通常使用循环来计算 \(x\) 的平方根。从某个猜测的值 \(z\) 开始,我们可以根据 \(z^2\)\(x\) 的近似度来调整 \(z\),产生一个更好的猜测:

\[z = z - \frac {z^2 - x} {2z} \]

重复调整的过程,猜测的结果会越来越精确,得到的答案也会尽可能接近实际的平方根。
在提供的 func Sqrt 中实现它。无论输入是什么,对 z 的一个恰当的猜测为 1。 要开始,请重复计算 10 次并随之打印每次的 z 值。
观察对于不同的值 \(x(1、2、3 ...)\) , 你得到的答案是如何逼近结果的,猜测提升的速度有多快。

提示:用类型转换或浮点数语法来声明并初始化一个浮点数值:

  z := 1.0
  z := float64(1)

然后,修改循环条件,使得当值停止改变(或改变非常小)的时候退出循环。观察迭代次数大于还是小于 10。 尝试改变 z 的初始猜测,
xx/2。你的函数结果与标准库中的 math.Sqrt 接近吗?

注: 如果你对该算法的细节感兴趣,上面的 z² − x 到它所要到达的值(即 x)的距离, 除以的 2z 的导数,
我们通过 的变化速度来改变 z 的调整量。 这种通用方法叫做牛顿法。 它对很多函数,特别是平方根而言非常有效。)

平方根函数

  package main
  import (
    "fmt"
    "math"
  )
  func Sqrt(x float64) float64 {
    // z最好在 1 < z < 2 内取值
    z := 1.5 // 迭代四次就够了
    for i :=  0; i < 4; i ++ {
      z -= (z * z - x) / (2 * z)
      fmt.Println(z)
    }
    return z
  }
  func main() {
    fmt.Println(Sqrt(2))
    fmt.Println("================")
    fmt.Println(math.Sqrt(2))
  }

同理再实现一个立方根函数

  package main
  import (
    "fmt"
  )
  func subtriplicate(x float64) float64 {
    z := 1.0
    for i := 0; i < 10; i ++ {
      z = z - z / 3.0 + x / (3.0 * z * z);
    }
    return z
  }
  func main() {
    fmt.Printf("subtriplicate(7): %v\n", subtriplicate(7))	
  }

总结:牛顿法收敛速度是二次方级别的,比二分法快多了

习题一

AcWing 790. 数的三次方根

AC代码,展开查看
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double cube(double x){
    double z = 1;
    for(int i = 0; i < 18; i ++ ){
        z = z - z / 3.0 + x / (3.0 * z * z);
    }
    return z;
}
int main(){
    double x;
    cin >> x;
    printf("%.6lf", cube(x));
    return 0;
}

本文参考自【董晓算法的个人空间-哔哩哔哩】

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